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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2014

PHYSIK-LERNEN MIT DEM COMPUTER

Kepler-Gesetze und Planetenbewegung
PROGRAMM:   KEPLER

Horst Hübel

Download PC-Programm (Win32) KEPLER

INHALT

Messung von Bahnparametern (hier k)

 

ZIEL:                                                                                                                                      zurück

Mit Hilfe des bekannten Kraftgesetzes wird die Bewegung eines oder mehrerer Planeten auf dem Bildschirm simuliert. Es können die Parameter Energie, Flächengeschwindigkeit (Drehimpuls), Exzentrizität und Halbachse, Planetenname und das Kraftgesetz verändert werden. "Experimentell" sollen die Kepler-Gesetze ermittelt und veranschaulicht werden. Dadurch, dass alle Parameter frei wählbar sind, können Sie sich ihren eigenen "Planeten" schaffen. Das ist insbesondere dann nützlich, wenn der Flächensatz behandelt wird, weil man dann sehr exzentrische Bahnen wählen kann.


BESCHREIBUNG:                                                                                                                                    zurück

Ausgehend von dem Kraftgesetz und bestimmten Anfangsbedingungen bzw. einer gewählten Flächengeschwindigkeit (Drehimpuls) wird die Bewegung eines Planeten nach der "Methode kleiner Schritte" simuliert. Kann der Zeitschritt für verschiedene Bewegungen konstant gewählt werden, so kann der Realzeit-Ablauf der Bewegungen am Bildschirm verglichen werden. In jedem Fall läuft die Anzeige einer Uhr mit, so daß auch bei variablen Schrittweiten die Umlaufdauer korrekt ermittelt werden kann. Im Prinzip kommt man bei fast kreisförmigen Bahnen schon mit wenigen Schritten pro Umlauf aus. Erst bei sehr stark elliptischen Bahnen muß die Zahl der Schritte pro Umlauf u.U. drastisch erhöht werden. Bei heutigen Rechnergeschwindigkeiten wird die Bewegung hinreichend langsam, wenn man als Schrittzahl z.B. 10000 für alle Planeten festlegt. Wegen der Integration der Bewegungsgleichung läßt sich das Kraftgesetz leicht verändern und es kann auch die Wirkung anderer "Gravitationsgesetze" erprobt werden. Die charakteristischen Größen der Keplerbahnen können mit der Maus vermessen werden.


FRAGESTELLUNGEN:                                                                                                                             zurück
 


EINSATZMÖGLICHKEITEN:                                                                                                                zurück

Veranschaulichung und "experimentelle" Ableitung der Kepler-Gesetze in der Mechanik der 11. Klasse; Demonstrations"versuch" oder Schüler"versuch" oder häuslicher Schüler"versuch" am schülereigenen Rechner; Vorbereitung von Kurzreferaten


HINWEISE ZUM EINSATZ:                                                                                                                  zurück

Z.B. mit der Hardcopy-Funktion läßt sich der Bildschirm auch ausdrucken und den Schülern auf einem Arbeitsblatt mitgeben.


TYPISCHE VERSUCHSERGEBNISSE:                                                                                                zurück

Nicht geschlossene Planetenbahnen beim Kraftgesetz r-2+ß, wobei ß = 0,2

  

Nicht geschlossene Planetenbahnen beim Kraftgesetz r-2+ß, wobei ß = - 0,1

 

 

Bahnen der Planeten Merkur bis Jupiter

  

Bahnen der Planeten Merkur bis Jupiter und der Planetoiden Eros, Ceres,
Adonis, Ikarus und Hidalgo

 
 

Bahnen gleicher Energie pro Masseneinheit (mit zunehmender Flächen-
geschwindigkeit (Drehimpuls pro Masseneinheit) wächst die numerische
Exzentrizität


 

Bahnen gleicher Flächengeschwindigkeit (mit abnehmendem Betrag der
Energie wächst die große Halbachse)

 
 

Beim Schwärzen der Flächen werden die Pixel gezählt und so das 2.
Kepler-Gesetz bestätigt

 

MENÜPUNKTE                                                                                                                                 zurück
I DESK I.1 Quit

Beendet das Programm.


I.2 Start

Beginnt eine neue Messung.


I.3 Info

Informiert über das Programm, erläutert einige der Fragestellungen, die mit Hilfe des Programms bearbeitet werden können.


I.4 Autor Nennt den Autor des Programms.


I.5 Lizenz

Bringt die Adresse des Lizenznehmers auf den Bildschirm.

II MODUS II.1 Einzelbewegung zeigen

Ermöglicht die Bewegung eines einzelnen Planeten. Läßt gleichzeitig bis zu 10 Umläufe zu (wichtig bei nicht geschlossenen Planetenbahnen).


II.2 Alle Planeten zeigen

Zeigt die Bahnen der 5 erdnächsten Planeten und von 5 Planetoiden für jeweils 1 Umlauf.


II.3 Planeteninfo

Bringt Informationen über einen zu wählenden Planeten auf den Bildschirm.


II.4 Bilder zeigen

Bringt Fotos aus dem Planetensystem auf den Bildschirm. (Nicht in allen Versionen implementiert.)

III PARAMETER III.1 Energie und Flächen-Geschwindigkeit

Fragt nach Energie und Flächengeschwindigkeit des zu untersuchenden Planeten. Dabei werden nur relative Werte eingegeben, also Energie pro kg im Ver gleich zur Erde und Flächengeschwindigkeit im Vergleich zur Erde. Interessant, wenn die Bahnen gleicher Energie in Abhängigkeit von der Flächengeschwindigkeit (bzw. vom Drehimpuls) verglichen werden sollen, oder die Bahnen gleicher Flächenge schwindigkeit (Drehimpuls) in Abhängigkeit von der Energie.


III.2 Gravitations-Gesetz

Statt des r-2 -Gesetzes kann ein modifiziertes Kraftgesetz verwendet werden mit dem Exponenten - 2+ß. ß wird abgefragt. Interessant für die Frage, ob bei anderen Kraftgesetzen auch geschlossene Bahnen möglich sind. Beim Planeten Merkur mit seiner relativistischen Massenabhängigkeit sind ähnliche Erscheinungen zu beobachten.


III.3 Planeten-Wahl

Definiert den zu untersuchenden Planeten durch Auswahl aus der Liste der existierenden Planeten.


III.4 Zeitschritt

Erfragt den Zeitschritt für die Simulation. Je größer die Exzentrizität e der Bahn, desto mehr Schritte pro Umlauf werden benötigt. Verändert man den Zeitschritt von Planet zu Planet, dann vermittelt die Dauer der Simulation einen falschen Eindruck von der Zeitdauer der Realbewegung. Obwohl fast kreisförmige Bahnen schon mit wenigen Zeitschritten ausreichend gut berechnet werden können, empfiehlt es sich doch, angepaßt an die Rechnergeschwindigkeit stets gleichgroße Zeitschritte zu verwenden. Es wird jedoch immer die Realzeit angezeigt und nur diese ist für die Ableitung der Kepler-Gesetze zu verwenden.


III.5 Mindestschrittzahl

Legt die kleinste zugelassene Schrittzahl fest. Das ist z.B. sinnvoll, wenn auch ein Eindruck vom Realzeit- Verlauf der Bewegung erhalten werden soll. Dann un terschreitet die Schrittzahl diesen Wert nicht, obwohl bei den nur schwach elliptischen Bahnen eine weitaus geringere Schrittzahl ausreichende Genauigkeit liefern würde.

IV AUSGABE IV.1 Fahrstrahl ein/aus

Schalter für den Fahrstrahl zur Ableitung des 2. Keplergesetzes. Arbeitet nicht zusammen mit IV.2.


IV.2 Planetenbild ein/aus

Zeichnet in 20 gleichen Zeitschritten auch die Position des Planeten als Kreisscheibe ein.


IV.3 Bildschirm löschen

Löscht den Bildschirm.

IV.4 Hardcopy

Gibt die Bildschirmgraphik auf einem EPSON-kompatiblen Drucker aus.


IV.5 Zeigen

Bringt den gewählten Graphen auf den Bildschirm; überschreibt frühere Meßkurven.


IV.6 Überschreiben ein/aus

Je nach Schalterstellung wird vor einer neuen Rechnung gelöscht oder nicht.

V FUNKTIONEN V.1 Halbachse messen

Ermöglicht es, die horizontale Achse bzw. Halbachse mit der Maus zu messen.


V.2 Flächen messen

Ermöglicht es, die Fläche zu messen, die der Fahrstrahl in einem festen Zeitintervall überstrichen hat. Funktioniert nur, wenn Fahrstrahl eingeschaltet ist. Es werden dann die Pixel ausgezählt, die beim Schwärzen der Fläche gesetzt werden müssen. Wegen der Ränder und der endlichen Bildschirmauflösung kann man keine übertriebene Meßgenauigkeit erwarten.


V.3 Exzentrizität messen

Ermöglicht es, mit der Maus die beiden Halbachsen zu messen und deren Verhältnis zu bilden.


V.4 Bahnparameter k messen

Mit der Maus wird der Bahnparameter k gemessen und angezeigt.


V.5 Sonnenposition definieren

Mit der Maus wird die Position der Sonne definiert.

VI DISK VI.1 Laden

Lädt eine Bildschirmgraphik aus einem frei wählbarem Verzeichnis. Es muß eine Graphik mit geeigneter Bildschirmauflösung gewählt werden. Die Bilddateien sind mit *.VGA, *.EGA, *.CG6, *.CG3 oder *.HRC gekennzeichnet.


VI.2 Speichern

Speichert eine Bildschirmgraphik in ein frei wählbares Verzeichnis.

 
 

ZUR THEORIE DER KEPLERBEWEGUNG:                                                                              zurück

Die Kepler-Gesetze besagen:

1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen um die Sonne; die Sonne steht im Brennpunkt der Ellipsen.


2. Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.


3. Die Quadrate der Umlaufszeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der Halbachsen.



Definition der Bahnparameter bei der Kepler-Ellipse

  • Die konstante Flächengeschwindigkeit A garantiert, daß der Drehimpuls L konstant ist und daß eine Zentralkraft vorliegt.
  • Das 1. Kepler-Gesetz zusammen mit dem dritten garantiert, daß die wirkende Kraft proportional zu r-2 vom Sonnenabstand abhängt.
  • Das 3. Kepler-Gesetz legt zusätzlich noch fest, daß die Proportionalitätskonstante im Kraftgesetz, abgesehen von der Masse des Planeten, unabhängig vom einzelnen Planeten ist (Gravitationsgesetz: FG = - G m r-2  ;  G = G . MS).


Es gelten folgende Beziehungen:

(1) FG = - G m r-2                                (Kraft)

(2) L = m r2 f* = m.2.A  =  m Ö (k  G)      (Drehimpuls L ; Begründung unten)

(3) E = - Gm/(2a)                                 (Energie E; große  Halbachse a ; Begründung unten)

(4) G = G . MS = 1,33.1020 m3/s2 mit der Gravitationskonstanten G  und der Sonnenmasse MS. Das könnte man als spezifische Gravitationskonstante für das Sonnensystem bezeichnen.

Messung des Bahnparameters k


Kepler-Gesetze und Planetenbewegung


(5) Bahngleichungen:

a) in kartesischen Koordinaten:

   (5a)                        (x/a)2   +    (y/b)2     = 1

 mit der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b


b) in Polarkoordinaten:

(5b)               1/r    =   1/k  (1 + e cos f )


mit der numerischen Exzentrizität e und dem Bahnparameter k mit (aus 5):


(6) k = b2/a


Für f = 90° folgt aus (5b) r = k. Darauf beruht die Messung von k im Programm. Es gibt folgende weitere Beziehungen:


(7) k = a (1 - e 2 )     e 2 = 1 - k/a = 1 - (b/a)2    

e aus der Gleichung e2 = a2 - b2 heißt lineare Exzentrizität. Es gilt  

(7')     e =  e/a


(8) Der Brennpunktsabstand ist 2 a e . Darauf beruht die Messung der numerischen Exzentrizität e im Programm.


(9) Wegen A2 = 1/4 . (L/m)2 = 1/4 . k G  mit G aus dem Kraftgesetz und der Planetenmasse m bestimmt die Flächengeschwindigkeit A bzw. der Drehimpuls L pro Masseneinheit ("spezifischer Drehimpuls") den Bahnparameter k bzw. das Achsenverhältnis (die Abplattung).


(10) Wegen E /m = -G/(2a) bestimmt die Energie (pro Masseneinheit) die große Halbachse a.


Bahnen gleicher Energie (pro Masseneinheit) haben deshalb die gleiche große Halbachse (und Umlaufszeit).

Bahnen gleichen Drehimpulses (pro Masseneinheit) haben deshalb die gleiche Abplattung k und schneiden sich im selben, durch k festgelegten Punkt.


(11) Vergleicht man mit den Erddaten:


EE /mE = -G/(2aE)            und               AE2 = 1/4 . (LE/mE)2 = 1/4 . G. kE


so erhält man:


(  E / m ) / (   EE /  mE  )  = a / aE

und

A2 / AE2 =  (L/m)2 / (LE/mE)2  =    k / kE  

Die Energien pro Masseneinheit verhalten sich deshalb wie die großen Halbachsen, die Quadrate der Flächengeschwindigkeit bzw. der Drehimpulse pro Masseneinheit wie die Bahnparameter k.



                                                                                                                                

Energie                                                                                    zurück

Für die Gesamtenergie gilt:

(12)         E = m/2 ( r*2 + r2w2) - Gm/r   andererseits:    (r* = dr/dt: Radialgeschwindigkeit)

(13)         L = m r2.w   , also w = L/mr2  und damit

(12')         E = m/2 ( r*2 + L2 /m2r2 ) - Gm/r  =   m/2 r*2 + ( L2/2mr2 - Gm/r)

L2/2mr2 - Gm/r  wird üblicherweise zu einem effektiven Potenzial zusammengefasst, wobei  ein Anteil das so genannte Zentrifugalpotenzial ist. Die Graphik zeigt schematisch das effektive Potenzial:

Falls dr/dt = r* = 0 (Umkehrpunkte), gilt   E =  L2/2mr2 - Gm/r . Das passiert offenbar bei zwei Radien r1 und r2. Es gilt nach Multiplikation mit r2:

E.r2 + Gm.r - L2/2m = 0

Die quadratische Gleichung für r hat 2 Lösungen, r1 und r2, und es gilt:

r1=  1/2E ( - Gm + Ö G2m2 + 2EL2/m )  und

r2=  1/2E ( - Gm - Ö G2m2 + 2EL2/m )

Für die Summe beider: r1+r2 = 2a =>

              2a = - Gm/E,  also

     E = - Gm/2a    

Die Gesamtenergie pro Masseneinheit ("spezifische Gesamtenergie") hängt nur von der großen Halbachse ab. Diese wiederum bestimmt nach dem 3. Kepler-Gesetz die Umlaufszeit.

Effektives Potenzial aus Gravitationspotenzial und
"Zentrifugalpotenzial": Abhängigkeit vom Radius.
An den "Umkehrpunkten" (bei den Radien r1 und r2) ist die Radialgeschwindigkeit 0. Dazu passen die
entsprechenden Positionen auf der Kepler-Ellipse.


 Drehimpuls                                                                           zurück

Für die Ellipsenfläche F gilt:     F = a.b.p. Damit wird die Flächengeschwindigkeit

A = F/T = a.b.p/T   Also bei gleicher Energie ( => gleiche große Halbachse a, => gleiche Umlaufszeit T):

A1/A2 = b1/b2.T2/T1 = b2/b1

(A1/A2)2  = (b1/b2)2  =  (b1/b2)2 (a2/a1)  = k1/k2

Andererseits:

1/T2 = G/4p21/a3

(L/m)2 = 4A2 = 4a2b2p2/T2  =  4a2b2p2G/4p2 a3 = b2/a G = k G

Der "spezifische Drehimpuls" L/m bestimmt damit den Bahnparameter k.