Wesentliche Aspekte hier sind die wirkenden Kräfte, insbesondere
eine rücktreibende Kraft nach dem Hookeschen Gesetz (F = - D·x), und in der Kinematik das Zusammenspiel von x, v und a.
Nebenbei fällt aus dem Kraftgesetz und dem 2. NG eine Beziehung für
die Schwingungsdauer an. Die Unabhängigkeit der Schwingungsdauer
von der Amplitude kann als eine der definierenden Eigenschaften der
harmonischen Schwingung aufgefasst werden.
Die Schüler wollen immer gleich zu Anfang die Gewichtskraft ins Spiel bringen. Ihr Vorschlag wird bestätigt: Ja, die Gewichtskraft ist dafür zuständig, dass sich eine neue Ruhelage ergibt. Betrachtet man aber die Bewegung um die neue Ruhelage - der Koordinatenursprung wird in die neue Ruhelage gelegt - , kann man die Gewichtskraft völlig vernachlässigen (wie später auch gezeigt werden kann). Ein horizontal aufgebautes Pendel auf der Luftkissenfahrbahn mit zwei waagrechten weichen Federn zeigt ebenfalls, dass die Gewichtskraft auf den Zeitverlauf keinen Einfluss hat. Ich halte es für verfehlt, die Erarbeitung der Gesetzmäßigkeiten hier mit einer Koordinatentransformation zum Nachweis dieser Überlegungen zu beginnen. So wichtig ist der Gesichtspunkt nicht, und wenn die harmonische Schwingung verstanden ist, lässt er sich relativ leicht nachtragen. Andernfalls besteht die Gefahr, dass ein Verständnis der eigentlichen Schwingung blockiert wird.
Besonders geeignet zur Untersuchung von harmonischen Schwingungen eines
hängenden oder horizontalen Federpendels erscheinen Untersuchungen mit
berührungslosen Bewegungsmesswandlern wie dem Sonarmeter oder
dem IR-Bewegungssensor zusammen mit einem geeigneten PC-Programm,
z.B. SONAR. Der IR-Bewegungssensor bei einer Reichweite von 10 - 80
cm ist besonders für Schülerversuche geeignet (Vgl. Buch
Schülerversuche mit PC und ... ).
Abgesehen von der eingeschränkten Reichweite erhält man ähnlich
überzeugende Ergebnisse wie mit dem Sonarmeter.
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Registrierung einer harmonischen Schwingung mit einem Sonarmeter und
dem PC-Programm SONAR.
Gezeigt sind Auslenkung x (Ort) und Beschleunigung a in Abhängigkeit
von der Zeit t. Die perfekte Gegenphasigkeit ist deutlich erkennbar. |
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Registrierung einer harmonischen Schwingung mit einem Sonarmeter und
dem PC-Programm SONAR: a-x-Darstellung (Kraftgesetz).
Einerseits ist wie im vorigen Diagramm die perfekte Gegenphasigkeit von x
und a erkennbar, anderseits auch die direkte Proportionalität: Nachweis
des besonderen Kraftgesetzes der harmonischen Schwingung: F = -D.x, des
Hookeschen Gesetzes. |
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Registrierung einer harmonischen Schwingung mit einem Sonarmeter und
dem PC-Programm SONAR: x-v-Darstellung (Phasendiagramm).
Aus der Lage der Ellipse könnte man auf die
900-Phasenverschiebung zwischen x und v schließen. Das Diagramm
ist aber auch Ausdruck des Energie-Erhaltungssatzes: Bei geeigneter Skalierung
entsteht ein Kreis, dessen konstanter Radius x2 +
a v2 mit dem Skalierungsfaktor
a proportional zur konstanten Gesamtenergie
D/2( x2 + w2
v2 ) ist.
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Registrierung einer harmonischen Schwingung mit einem Sonarmeter und
dem PC-Programm SONAR:
Darstellung von x2 und v2, geeignet mit Hilfe der Maus skaliert, und ihrer Summe. Diese ist ein Maß für die Gesamtenergie. Die Energieerhaltung kommt klar heraus. Wichtig ist, dass das Sonarmeter zunächst möglichst exakt die Ruhelage des Federpendels ermittelt. Dazu besitzt das Programm SONAR eine eigene, bequem handhabbare Funktion.
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Wenn die Schülern das abwechselnde Auftreten von potentieller und
kinetischer Energie entsprechend dieser Graphik erarbeitet und verstanden
haben, ist es sinnvoll, den Energieerhaltungssatz auch formal herzuleiten.
Dabei wird der Zusammenhang zwischen Federkonstante D, Masse m und Kreisfrequenz
w bzw. Schwingungsdauer T benötigt
bzw. gewonnen.
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