Geschwindigkeit als Steigung des t-x-Graphen
|
In der Didaktik wird zwischen Geschwindigkeit und Tempo
unterschieden (vgl. didaktogene
Lernschwierigkeiten), ähnlich wie im englischen Sprachraum zwischen
velocity und speed unterschieden wird. In der Schulmechanik
kann man eigentlich nur mit dem Geschwindigkeitsbegriff etwas anfangen.
Ausgangspunkt ist ein einfaches Experiment mit einer gleichförmigen
Bewegung (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit). Beispiele:
-
Schüler bringen auf dem Boden Marken an. An jeder Marke wird ein
Schüler mit einer Stoppuhr aufgestellt. Ein Proband versucht möglichst
mit konstanter Geschwindigkeit die Strecke zu durchlaufen, während der
Rest der Klasse stoppt. Die Bewegung kann verglichen werden mit einer zweiten,
bei der Proband erst anläuft und dann wieder langsamer wird.
-
Im arbeitsgleichen Schülerversuch stoppt jede Schülergruppe die
Bewegung einer Luftblase in einem langen wassergefüllt Rohr (man muss
den Schülern klarmachen, dass sie immer die Zeit vom Start der Blase
an registrieren müssen).
-
Analog wird ein einmal angestoßener Gleiter auf der horizontalen
Luftkissenfahrbahn, ein Motorwagen oder eine Spielzeug-Eisenbahn ausgestoppt.
Die Schüler zeichnen ein t-x-Diagramm mit den Daten. Die Konstanz der
Steigung ist Anlass, ihr einen Namen zu geben: Geschwindigkeit:
Geschwindigkeit: v = Δx
/ Δt
"Geschwindigkeit ist Ortsänderung pro Zeiteinheit"
|
"graphischer Steigungsbegriff"
|
Der Zusammenhang mit der Steigung des t-x-Graphen und die Folge
der beiden möglichen Vorzeichen von v werden konkretisiert bei
Realbewegungen vor dem Sonarmeter (indem z.B. eine Versuchsperson
hin und her geht). Dabei kann ohnehin nicht vermieden werden, zwischendurch
Bewegungsabschnitte mit nicht konstanter Geschwindigkeit zu betrachten.
Wichtiger als ein Zusammenhang mit irgendwelchen Formulierungen des
Differentialquotienten erscheint ein anschaulicher Zusammenhang mit so etwas
wie "Steilheit" oder die Orientierung der Hand, die quasi parallel an den
Graphen angelegt wird. Der Schüler muss ein Gefühl dafür bekommen,
wie sich größere oder kleinere Geschwindigkeit im Anstieg oder
Abfall des t-x-Graphen ausdrücken. |
"manueller Steigungsbegriff" |
. |
Hinweis: Tempo (das der Autotacho anzeigt) wäre zu definieren
als "Wegabschnitt pro Zeiteinheit". So wichtig der Begriff für
Kraftfahrzeugtechnik und Verkehr ist, sowenig kann man in der Schulmechanik
etwas mit ihm anfangen. "Weg durch Zeit" ist noch weniger brauchbar, da es
nur für eine spezielle Anfangsbedingung gültig ist.
 |
Der Weg vom t-x-Diagramm zur Geschwindigkeit läuft über die
Steigung.
Es gibt auch einen Weg vom t-v-Diagramm zur Ortsänderung
Δx = v · Δt: das
"Flächenverfahren".
Bei konstanter Geschwindigkeit entspricht die Ortsänderung
Δx in einem Zeitintervall
Δt der Fläche unter dem t-v-Graphen. Von
der Ortsänderung Δx kommt man zum Ort x,
wenn man den Anfangsort x0 zu Beginn des Zeitintervalls hinzu
addiert (Es handelt sich um eine "Integration". In der Schule nenne ich sie
(zunächst) "Flächenverfahren"):
Δx = v · Δt und x = x 0 + Δx
also: x = x0 + v · Δt
|
Das gilt für ein beliebiges Zeitintervall Δt,
wenn zu seinem Beginn der Ort x0 ist.
Wenn das Zeitintervall Δt zur Zeit t = 0 beginnt, kann statt Δt auch t geschrieben werden.
|
Das Flächenverfahren stellt ein
Vehikel dar, mit dem im Fall von
beschleunigten Bewegungen vom t-a-Diagramm zum t-v-Diagramm und dann zum
t-x-Diagramm fortgeschritten wird.
.
.