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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2014

Die Ellipse

Am einfachsten versteht man eine Ellipse mit der so genannten "Gärtnerkonstruktion". Die heißt so, weil früher Gärtner elliptische Beete in dieser Weise angelegt haben. Sie haben zwei Pflöcke an zwei  nicht zusammenfallenden Punkten F1 und F2 in den Boden geschlagen, eine Schnur sehr locker zwischen sie gebunden, und sind dann mit einem weiteren Pflock P so um die beiden festen Pflöcke herumgefahren, dass die Schnur zu beiden Seiten immer gespannt blieb. P beschrieb dann eine Linie, eben die Ellipse.

Mathematisch ist klar, dass die Summe der beiden Strecken PF1 und PF2 konstant ist. Genau das ist die Definition der Ellipse:

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P, die von 2 verschiedenen Punkten F1 und F2 zusammen konstanten Abstand haben (c + d = konst ).

Wenn a die große Halbachse ist, gilt dann sogar: c + d = 2·a. Das erkennt Sie schnell, wenn Sie den Punkt P in den brennpunktsnächsten Punkt PH verschieben ("Perihel")

Die beiden Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte. Man kann einen Kreis als eine Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten auffassen. Kreis und verschiedene Ellipsen unterscheiden sich durch die Exzentrizität.

Eine Ellipse ist gekennzeichnet durch ihre große und kleine Halbachse (a und b).

Die Exzentrizität ist bestimmt durch das Verhältnis b/a der beiden Halbachsen.

Maßgrößen für die Exzentrizität sind:

1. der Bahnparameter                  k = a2/b    (manchmal auch p genannt)

2. die numerische Exzentrizität     ε2 = 1 - k/a = 1 - (b/a)2

3. die lineare Exzentrizität:                e2 =  a2 -  b2

Die lineare Exzentrizität e ist der Abstand eines Brennpunkts vom Zentrum der Ellipse.


Der Brennpunktsabstand ist                         2·a·ε = 2·e


Es gibt  verschiedene Darstellungen für die Ellipse:

Polarform in Polarkoordinaten mit dem Radius r und dem Winkel φ ( ε numerische Exzentrizität):

                            k

        r = --------------------------      

                1     +   ε  cos ( φ )

Wenn φ = 0o gilt r = k/(1 + ε), wenn φ = 360o gilt r = k/(1 -  ε), wenn φ = 90o gilt r = k .  

Darstellung in kartesischen Koordinaten mit den Halbachsen a und b:

                        (x/a)2 + (y/b)2 = 1                

x = 0  liefert y = +/- b; y = 0 liefert x = +/- a.