Das Rätsel der unterschiedlichen Resonanzkurven beim elektromagnetischen Schwingkreis (Parallelresonanzkreis) L-Messung durch die Resonanzfrequenz?

Haben Sie sich nicht auch schon gewundert, dass in manchen Schulbüchern Resonanzkurven beim elektromagnetischen Schwingkreis mit ganz unterschiedlichem Verlauf abgebildet sind, auch wenn es sich immer um einen Parallelresonanzkreis handelt?

Haben Sie sich nicht auch schon gefragt, warum Messungen der Induktivität L mit unterschiedlichen Methoden ganz unterschiedliche Ergebnisse liefern? Übliche Verfahren der L-Messung in der Schule sind

• a) Messung der Eigenfrequenz eines elm. Schwingkreises, der zu gedämpften Schwingungen angeregt wird (Thomson-Formel),
• b) Resonanzfrequenz eines Schwingkreises bei der Anregung zu erzwungenen Schwingungen (Thomson-Formel),
• c) aus der Steigung eines dI/dt - U_ind- Graphen: L = - U_ind/ dI/dt
• d) aus der Energieerhaltung bei der Umwandlung von magnetischer Energie einer stromdurchflossenen Spule in elektrische Kondensator-Energie: 1/2 L I² = 1/2 U² / C.

Wegen seiner Einfachheit wird in der Schule meistens das Verfahren b) angewandt. Wann ist das eine gute Wahl?

Im Folgenden soll ein elektromagnetischer Schwingkreis mit vernachlässigbarer (innerer) Dämpfung untersucht werden. Dabei wird der Schwingkreis durch Ankopplung an einen Funktionsgenerator zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Dabei ist klar, dass wegen der quadratischen Beziehung L.C = 1/w₀² ein Fehler in der Resonanzfrequenz einen doppelt so großen Fehler in der L-Messung zur Folge hat.

Es sollen verschiedene Kopplungsarten durchgespielt werden. In den Schulbüchern ist meistens induktive Kopplung (Abb. 1) zu finden, vielleicht mit der Idee, dass dabei Schwingkreis und Erreger weitgehend getrennt erscheinen, so dass der Schwingkreis als eigenständiges Gebilde, sozusagen wie ein freier elm. Schwingkreis betrachtet werden kann. Dieser Fall soll als erster theoretisch untersucht werden. Ist die Idee haltbar?

Die Theorie  zu vier Kopplungsarten wird im Anhang mit zwei unterschiedlichen Methoden durchgerechnet: Die erste Schaltung wird mit Hilfe eines Systems gekoppelter Differentialgleichungen behandelt, die weiteren mit Hilfe von komplexen Widerständen. Dabei gilt für die Spule Z_L = i.w.L und für den Kondensator Z_C = - i/w.C). Durch die imaginäre Einheit i werden Phasenverschiebungen zwischen Strömen und Spannungen berücksichtigt.

Die Ergebnisse waren für mich einigermaßen überraschend!

Für mechanische Schwingungen wurde Resonanz bei den verschiedenen Kopplungsarten bereits anderswo untersucht.

´ Abb. 1:	Abb. 1: Der Generator soll eine Spannung U0(t) liefert, für die wir den Ansatz machen: U0(t) = U00 exp (i(w t-d)). d soll dabei eine mögliche Phasenverschiebung zwischen den Stromstärken und der Generatorspannung sein. Um die Schreibweise zu vereinfachen, schlagen wir die Phasenverschiebung d zur Generatorspannung hinzu. Eine Rechnung, die Sie im Anhang A  nachlesen können, liefert dabei das Ergebnis der Abb.1a für die Resonanzkurve: Für kleine Frequenzen verhält sich die Spannung an der Spule 2 (UL0) wie w2, für sehr große Frequenzen strebt der Betrag der Spannung gegen eine Konstante U00 ÖL2/L1 k/(1 - k2) . k ist dabei eine Abkürzung, die mit der Gegeninduktivität M = k Ö L1.L2 zusammenhängt. L2 ist die Induktivität des Schwingkreises, L1 die der Kopplungsspule. Die Frequenz der Spannungssingularität ist gegenüber w0 = 1/Ö L2.C  erhöht: wmax2  = w02 1/(1 - k2). Nur bei sehr schwacher Kopplung (k << 1) ist diese Verschiebung vernachlässigbar. Der asymptotische Wert der Schwingkreisspannung ist bei k = 0,1 ca. 10 % von U00 Ö L2/L1 , wobei U00 die Generatorspannung ist. Bei reiner Transformation hätte man U00 Ö L2/L1 erwartet.	Abb. 1a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel der Beschleunigungskopplung (wie beim Seismographen). Da in fast allen Fällen hier eine Dämpfung außer acht gelassen wird, wird als Stelle des "Maximums der Schwingkreisspannung" die Frequenz der Polstelle verwendet. Bei k = 0,1 ergibt sich wmax  = w0.1,005, also recht brauchbar. 5% Fehler in der Resonanzfrequenz entsprechen bei der L-Messung einem Fehler von ca. 10%.
In den folgenden drei Fällen ist die Theorie deutlich einfacher, weil es naheliegend ist, mit komplexen Widerständen zu arbeiten (Anhang B). Das asymptotische Verhalten ist auch ohne die Theorie, also elementar, zu erschließen (siehe Anhang C). Wenn es die Sache Wert wäre, könnten das auch Schüler durchführen.
Abb. 2:	Abb. 2: Für rein galvanische Kopplung ergibt sich eine Resonanzfrequenz (mit endlicher Spannung) genau bei der Eigenfrequenz w0 des Schwingkreises. Für kleine Frequenzen w wächst die Schwingkreisspannung linear an, für sehr große Frequenzen fällt sie mit 1/w. Die maximale Spannung kann die Generatorspannung nicht überschreiten. Das Maximum liegt gerade da, wo sich die beiden Ströme im Schwingkreis gegenseitig aufheben (oder anders: wo ein reiner Kreisstrom fließt). Dann ist R stromlos, es kann kein Spannungsabfall an R entstehen und es kann keine weitere Energie vom Generator geliefert werden, die die Amplitude ansteigen ließe.	Abb. 2a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel der Geschwindigkeitskopplung. (siehe auch Abb. 5a,b mit Resonanzkurven nach der Theorie)
Abb. 3:	Abb. 3: Diese Art der induktiven Ankopplung ist relativ unüblich. Die Schwingkreisspannung geht für wachsendes w von einem endlichen Wert aus (der im Grenzfall schwacher Kopplung U00 ist), und fällt für w => unendlich wie 1/w2. Die maximale Spannung bei w = w0   Ö (1 + L2/L1) ist je nach Verhältnis der Induktivitäten zu höheren Frequenzen verschoben. Wenn k = L1/L2 = 0,1 ist, beträgt der asymptotische Wert der Schwingkreisspannung  ca. 90 % der Generatorspannung. Die Frequenz des Spannungsmaximums ist - je nach dem Verhältnis der Induktivitäten - evtl. ein Vielfaches größer als die "Idealfrequenz"  wo . Das ist wohl einer der Gründe, weshalb diese Schaltung zum Zweck der L-Messung nicht eingesetzt wird.	Abb. 3a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel der Aufhängungskopplung, also der Situation, wo der Aufhängepunkt des Federpendels periodisch auf und ab bewegt wird. Wenn Schulbücher Resonanz in der Mechanik behandeln, wählen sie in der Regel diesen Fall aus.
Abb. 4:	Abb. 4: Bei kapazitiver Kopplung wächst die Spannung bei kleinen Frequenzen zunächst wie w2. Für sehr große Frequenzen fällt sie auf einen konstanten Wert U0 k/(1+k). Für schwache Kopplung ( k = C'/C << 1) nähert sich dieser Wert Uo. Die maximale Spannung ist (für kleine Kopplung nur leicht) zu niederen Frequenzen verschoben. Verwendet man z.B. C = 1 µF und C' = 0,1 µF, also k = 0,1, ist  wmax ca. 5 % kleiner als die "Idealfrequenz"  wo . Der asymptotische Wert der Schwingkreisspannung ist ca. 9 % der Generatorspannung.	Abb. 4a:Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel ebenfalls der Beschleunigungskopplung (wie beim Seismographen)..

Zusammenfassung: 1. Das oft erwünschte Ziel, für die Schule eine maximale Spannung am Schwingkreis bei einer Kreisfrequenz zu erhalten, die mit  w0 = 1/Ö L2.C übereinstimmt, lässt sich nur dann erreichen, entweder a) exakt, wenn reine galvanische Kopplung mittels eines Widerstands R vorliegt (R sollte dann möglichst groß sein), oder b) näherungsweise, wenn die Kopplung sehr schwach ist, bzw. wenn die Kopplungsgrößen (C') klein sind im Vergleich zu den entsprechenden Schwingkreisgrößen (C) bzw. wenn L1 >> L2 (Abb. 3). Im Fall der induktiven Kopplung  nach Abb. 1  sollte durch räumlichen Abstand der zwei Spulen die Gegenkopplung k = M/Ö L1.L2 klein gemacht werden. 2. Der unterschiedliche Verlauf der Resonanzkurve hängt von der Ankopplung des Erregers ab. Je nach Kopplungsart hat die Resonanzkurve unterschiedliches Verhalten für kleine und sehr große Kreisfrequenzen w. Das sollte m.E. in der Schule nicht diskutiert werden. Für die Schule besteht hier der Ausweg, diese Grenzfälle nie zu erwähnen, und eine Resonanzkurve nur in der Nähe der Resonanz zu zeichnen und diskutieren zu lassen. In Schulbüchern wird in der Regel die falsche Resonanzkurve zur verwendeten Kopplungsart angegeben. 3. Bei der induktiven Kopplung nach Abb. 3 muss man besonders vorsichtig sein. wmax   nahe  w0  = 1/Ö L2.C  erhält man nur, wenn L1 >> L2 !

Bemerkung: Eine Dämpfung des Schwingkreises durch einen zusätzlichen internen ohmschen Widerstand ist hier gänzlich vernachlässigt. Sie führt zu einer zusätzlichen - häufig geringen - Verschiebung der Frequenz für das Maximum der Schwingkreisspannung.

Anhänge

A Theoretische Überlegungen zur ersten Schaltung (Abb. 1):

a) Hier liegen zwei Kreise vor: Kreis 1 mit dem Funktionsgenerator, der die Spannung U₀(t) = U₀₀ exp (i(w t+d)) liefert und der Schwingkreis, der die Nummer 2 erhält. Nach der Maschenregel gilt für Kreis 1:

(1) U₀(t) = R.I₁ + L₁.dI₁/dt + M dI₂/dt        

L₁.dI₁/dt und  M dI₂/dt   kommen durch Selbstinduktion in Kreis 1 und Gegeninduktion von Kreis 2 zustande. Die eigentlichen Induktionsspannung hätten umgekehrtes Vorzeichen und hätten links eingeordnet werden müssen. Die Gegeninduktivität M  ist symmetrisch in beiden Induktivitäten (Kreis 1 wirkt auf Kreis 2 und umgekehrt), also ist der Ansatz  M = k Ö L₁.L₂ üblich, wobei 0 <= k <= 1 gilt. Mittels der Gegeninduktion wirkt der Schwingkreis 2 zurück auf den Kreis 1.

(2)  0 = Q₂/C + L₂. I₂*+ M. I₁*    (* soll die erste Ableitung nach der Zeit kennzeichnen).

Wieder spielt die Gegeninduktivität eine Rolle, weil der Kreis 1 auf den Schwingkreis 2 mit der Gegeninduktion einwirkt. Zeitableitung bewirkt

(2') 0 = I₂/C + L₂I** + M I₁**   (** soll die zweite Ableitung nach der Zeit kennzeichnen).

Es handelt sich um ein gekoppeltes lineares Gleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Da wir nicht den Einschwingvorgang beachten wollen, genügt uns eine spezielle Lösung dieses inhomogenen Gleichungssystems, die wir durch die Ansätze

I₁(t) = I₁₀. exp( i.w.t)            und                I₂(t) = I₂₀. exp( i.w.t)

erhalten. Der zeitabhängige Faktor fällt dann auf beiden Seiten der Gleichungen heraus und es folgt:

(1") U₀₀ exp(-id) =   i.w.L₁I₁₀ + i.w.M.I₂₀

(2")               0     =  I₂₀ /C  -  w².L₂.I₂₀   -  w².M.I₁₀

Wir erhalten:             I₁₀ = I₂₀ ( 1/MCw²   - L₂/M )   = I₂₀ L₂/M ( 1/L₂Cw²   -  1)  = I₂₀ L₂/M ( w₀²/w²   -  1)

eingesetzt in (1"):   U₀₀ exp(-id) =  i.w.L₁L₂/M I₂₀ ( w₀²/w²   -  1)   + i.w.M.I₂₀  also

U₀₀ exp(-id) = i.w. M. I₂₀ .[ L₁L₂/M²  ( w₀²/w²   -  1)  + 1 ] = i.w. M. I₂₀ .[ 1/k²  ( w₀²/w²   -  1)  + 1 ]

Die rechte Seite der Gleichung ist rein imaginär, also wegen exp(-id) = cos d - i sin d

U₀₀ sin d  = - I₂₀ .w. [ L₁ ( 1/MCw²   - L₂/M ) + M ]

Es folgt

cos(d) = 0 , also  d = +/-90⁰  und  sin  d = +/-1  , also für den Betrag  /U₀₀/  = / M. I₂₀ .w. [ 1/k²  ( w₀²/w²   -  1)  + 1 ]  / und

also I₂₀ =  / U₀₀ 1/w  1/(M[ 1/k ²( w₀²/w²   - 1 ) + 1 ]) /  

Damit dann (bis auf das Vorzeichen)

U_L0 = iwL₂I₂₀ =  iwL₂ U₀₀ /  (w. M[ 1/k ²( w₀²/w²   - 1 ) + 1 ]) =  i.L₂L₁ /ML₁ U₀₀ / [ 1/k ²( w₀²/w²   - 1 ) + 1 ] =  i ÖL₂/L₁ U₀₀ k / [ ( w₀²/w²   - 1   + k² ]

Uns interessiert nur der Betrag davon:

/UL0/ =   ÖL2/L1 / U00 k / [ ( w02/w2   - 1   + k2 ] /

Der Betrag der Schwingkreisspannung ist maximal, wenn der Nenner verschwindet, also, wenn

w₀²/w²    =  ( 1 - k²)

bzw., wenn  w²   =  w₀² 1/(1 - k²).  Das Maximum wird also leicht zu größeren Frequenzen verschoben.

Zu Abb. 1: Für w => 0 gilt näherungsweise UL0 =    i  U00 ÖL2/L1 k w2/w02  , d.h.,  die Schwingkreisspannung wächst für kleine w quadratisch mit w. Für w => unendlich überlebt im Nenner nur (1 - k2), also gilt näherungsweise /UL0/ =   /U00/ ÖL2/L1  k/ (1 - k2) Der Betrag von ULO strebt einem konstanten Wert mit dem Betrag /U00/ ÖL2/L1 k/ (1 - k2) zu. Nur für sehr kleine k ist dieser Wert nahezu 0. Die maximale Schwingkreisspannung kann die Generatorspannung weit überschreiten. (blaue Kurve: k = 0,1; rote Kurve k = 0,2; L1 = L2)

Anhang B Untersuchung mit komplexen Widerständen

b) Bei den folgenden Ableitungen sind induktiver Widerstand Z_L = iwL₂ und kapazitiver Widerstand Z_C = - i/(wC) parallel geschaltet. Wir erhalten für den komplexen Schwingkreiswiderstand Z_S:

1/Z_s =  1/(iwL₂)  + i wC  = i (- 1 + w² L₂C ) / (wL₂)  = i (w^2/ w₀² - 1) / (wL₂)      

Dieser Widerstand Z_s ist in Reihe geschaltet mit Z_L1, R oder Z_C'.

(1b) Z_ges = iwL₁ + Z_s

(1c) Z_ges = R + Z_s

(1d) Z_ges = -i/(wC') + Z_s

Wenn X der Reihe nach der komplexe Widerstand des jeweiligen Kopplungsglieds ist, erhalten wir für die Schwingkreisspannung  jeweils

U_L = U₀ Z_s/Z_ges  =   U₀/ (1 + X/Zs) = U₀/ [ 1 + i.X.(w^2/ w₀² - 1) / (wL₂) ]

Der Gesamtwiderstand ist in den zwei Fällen (1b) und (1d) rein imaginär. Sein Betrag kann bei einer bestimmten Kreisfrequenz w_max  verschwinden. Dort wird die Amplitude der erzwungenen Schwingung über alle Grenzen wachsen, wenn ein interner ohmscher Widerstand im Schwingkreis vernachlässigt wird. Das geschieht, wenn

(1b) /Z_ges/ =  wL₁ + wL₂ /(w^2/ w₀² - 1) = ( wL₁(w^2/ w₀² - 1)  + wL₂ ) /(w^2/ w₀² - 1) = w L₁ ( w^2/ w₀² - 1 + L₂/ L₁ )/ (w^2/ w₀² - 1) = 0, wenn also

w^2/ w₀² - 1 + L₂/ L₁ bzw.  w²  = w₀²  ( 1 - L₂/ L₁) , also, wenn w_max  = w₀ Ö ( 1 - L₂/ L₁) = w₀ Ö1 - 1/k  , wobei  k = L₁/L₂

(1c) /Z_ges/ =  -1/(wC') + wL₂ /(w^2/ w₀² - 1) = wL₂ ( - C/(w²C'CL₂) + 1/(w^2/ w₀² - 1) = wL₂ ( - C/C' w₀²/w² (w²/ w₀² - 1)  + 1 ) / (w^2/ w₀² - 1) = 0 , wenn also

w₀²/w² = 1 + C'/C  bzw.  w_max = w₀ Ö 1/(1+k)   , wobei k = C'/C

Bei galvanischer Kopplung verschwindet der komplexwertige Gesamtwiderstand an keiner Stelle.

Dann gilt (2b) X = iwL₁ und

U_L = U₀/ [ 1 - wL₁ (w^2/ w₀² - 1) / (wL₂) ] = U₀/ [ 1 - L₁ /L₂ (w^2/ w₀² - 1) ] , also für den Betrag

/UL / = / U0/ [ 1 + k - k (w2/ w02  ) ] /

mit  k = L₁/L₂

Maximale Schwingkreisspannung ergibt sich, wenn der Nenner verschwindet, wenn also 1 + k = k (w^2/ w₀²)  => (w^2/ w₀² ) = 1/k + 1 => w² =  w₀².(1/k + 1 ) . Wir erhalten also

w_max = w₀   Ö (1 /k + 1)

 Für w => 0 strebt U_L gegen U₀/( (k  + 1 ) , U_L und U₀ schwingen in Phase. Für w => unendlich dagegen verhält sich U_L  wie - U₀ 1/k  w₀²/ w² . U_L  ist jetzt gegenphasig zu U₀ . Der Betrag fällt mit 1/w² gegen 0.

2. Fall kapazitive Kopplung:

UL = U0/ (1 + i.X.(w2/ w02 - 1) / (wL2) )    mit (2d) X = -i/wC' Zur Abkürzung führen wir noch k = C'/C ein. Also: UL =   U0/ (1 + (w2/ w02 - 1) / (w2L2C') = U0/ (1 + (w2/ w02 - 1) / (w2/ w02 C'/C ) = U0/ (1 + C/C' -  w02/ w2 C/C') = U0C'/C / (C'/C + 1  -  w02/ w2 ), also /UL / =  /U0 k / (1 + k -  w02/ w2 )/ Maximale Schwingkreisspannung ergibt sich, wenn der Nenner verschwindet, wenn also 1 + k = w02/ w2  bzw.  w2 = w02/(1 + k), also wmax = w0Ö1/(1 + k). Das Maximum ist zu kleineren Frequenzen verschoben. Für w => 0 verhält sich UL wie - U0 k  w2/ w02 . UL und U0 schwingen also gegenphasig. Der Betrag von UL wächst damit mit w2. Für w => unendlich  strebt UL gegen U0 k / (1 + k) Die maximale Spannung kann die Generatorspannung weit überschreiten. (blaue Kurve: k = C'/C = 0,1; rote Kurve k = 0,2)

3. Fall galvanische Kopplung:

	Zwei verschiedene Resonanzkurven bei galvanischer Kopplung: t = R.C = 1 ms. Um eine scharfe Resonanzkurve zu erhalten, sollte der Schwingkreis möglichst schwach an den Frequenzgenerator angekoppelt sein: möglichst großer Kopplungswiderstand (hier C = 1 µF, R = 1000 Ohm => t = 1 ms). Die maximale Schwingkreisspannung kann die Generatorspannung nicht überschreiten.
	t = 0,1 ms (hier C = 1 µF, R = 100 Ohm => t = 0,1 ms) Hier ist der Kopplungswiderstand zu klein.Er entzieht dem Schwingkreis zuviel Energie. Der Funktionsgenerator zwingt dem Schwingkreis zu stark seine eigene Amplitude auf.

U_L = U₀/ (1 + i.X.(w^2/ w₀² - 1) / (wL₂) ) mit  (2c)  X = R

Es ergibt sich

U_L = U₀/ (1 + i R (w^2/ w₀² - 1) / (wL₂) ) = U₀  / ( 1 + i R (w^2/ w₀² - 1)/wL₂ mit dem Betrag

/U_L/ = /U₀ ( 1 + R²(w^2/ w₀² - 1)^2/w²L₂² ) ^-1/2 /   = /U₀  [ 1 + R^2/L₂² (w ^/ w₀² - 1/w)² ] ^-1/2 /  = /U₀   [ 1 + R²C^2/(C²L₂²) (w ^/ w₀² - 1/w)² ] ^-1/2 / , also

/UL/ = /U0  [ 1 + w04.t2 (w / w02 - 1/w)2 ] -1/2 /        ,          wobei t = R.C

Für w => 0 verhält sich /U_L/  wie /U₀/ [ R^2/L₂² /w ² ] ^-1/2  = /U₀/ L₂ / R w  =  /U₀/ w/(t.w₀²), wächst also linear mit w.

Für w =>unendlich verhält sich /U_L/  wie /U₀/  [ R^2/L₂² (w ^/ w₀² )² ] ^-1/2  = /U₀/  L₂ / R  w₀²  / w =  /U₀/  1/( t .w ), fällt also mit 1/w gegen 0 ab.

Es gibt offenbar keine Stelle, wo der Nenner 0 wird.  1 + R^2/L₂² (w ^/ w₀² - 1/w)² > 0  . Es könnte ein relatives Maximum vorliegen. Also:

d/ UL/  dw ⁼  /U₀/ (-1/2)  [ 1 + R^2/L₂² (w ^/ w₀² - 1/w)² ] ^-3/2 . (R^2/L₂²  2 (w ^/ w₀²  - 1/w) (1/w₀² + w^-2 ) = 0, wenn w ^/ w₀² =  1/w, bzw. w_max ² = w₀² .

Durch den Ohmschen Widerstand R ist diese R-L-C-Kombination gedämpft. Es gibt ein endliches Maximum bei der Eigenfrequenz des Schwingkreises! Bei kleinem Widerstand zwingt der Funktionsgenerator dem Schwingkreis seine Schwingung zu stark auf, und eine Resonanz ist nicht mehr erkennbar.

C Elementare Überlegungen

b) Zu Abb. 2 (galvanische Kopplung)

Für kleine Frequenzen strebt der komplexe Widerstand der Spule iwL₂ gegen 0. Es ist also eine kleine Spannung am Schwingkreis zu erwarten. Die Schaltung wirkt als Spannungsteiler und es bildet sich am Schwingkreis eine Spannung iwL₂ / (R + i wL₂ ) aus. Der Betrag ist U₀ wL₂ 1/Ö(R² + w²L₂ ²⁾ = U₀ 1/Ö(R² / w²L₂ ² + 1).

Für w =>0 ist die 1 im Nenner vernachlässigbar und U_L0 verhält sich wie U₀ wL₂/R, wächst also mit w linear an.

Für sehr große w dagegen verhält sich die Schaltung wie eine Spannungsteilerschaltung von R und -i/wC.  /U_L0/ verhält sich also wie U₀ 1/wC/Ö(R²+1/w²C²) =  U₀ 1/Ö(R²w²C² + 1 ) = U₀ 1/(RwC), strebt also wie 1/w gegen 0.

c) Zu Abb. 3 (induktive Kopplung):

Bei kleinen Frequenzen ist der kapazitive Widerstand von C sehr groß im Vergleich zu den induktiven Widerständen von L₁ und L₂. De facto liegt für kleine Frequenzen eine Spannungsteilerschaltung mit zwei Spulen vor. Die Eingangspannung U₀ wird im Verhältnis von wL₂/w(L₁+L₂) = 1/(1+k)   (k = L₁/L₂): horizontale Asymptote bei dieser Spannung.

Bei sehr großen Frequenzen ist im Schwingkreis der kapazitive Widerstand -i/wC sehr klein im Vergleich zum induktiven Widerstand iwL₂. Es gilt wieder das Argument der Spannungsteilerschaltung. Am Schwingkreis entsteht eine Spannung U₀ -i/wC / iwL₁= U₀ w₀² / w² L₂/L₁ . Die Schwingkreisspannung fällt wie 1 /w² auf 0.

d) Zu Abb. 4 (kapazitive Kopplung):

Bei gro0en  Frequenzen überwiegt der induktive Widerstand iwL₂ der Schwingkreisspule. Die Spannungsteilerschaltung besteht aus den kapazitiven Widerständen -i/wC' und -i/wC. Es bildet sich eine Schwingkreisspannung aus, die sich bei großen Frequenzen verhält wie U₀ 1/C / (1 /C + 1/C') = U₀ C'/( C + C') = U₀ k/(1 + k ), wobei k = C'/C.

Bei sehr kleinen Frequenzen dominiert der kleine induktive Widerstand iwL₂  den Schwingkreiswiderstand. U_L0 verhält sich wie U₀ iwL₂ / ( iwL₂ -i/wC') = U₀ L₂ / ( L₂ -1/w²C'). Der Betrag davon verhält sich wie U₀ L₂ w²C' = U₀ L₂C w² C'/C = U₀ w²/w₀²   C'/C , wächst also mit w².