Würzburger Quantenphysik- Konzept

G90 Thermische Verteilungen

Be-stimmt / Un-be-stimmt Heisenbergsche Un-be-stimmtheitsrelation

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Wenn ein Gas im thermischen Gleichgewicht ist, besitzt es eine Temperatur T. Je nachdem, ob die Gasteilchen Masse haben oder nicht, relativistisch sind oder auch nicht, ob sie klassisch behandelt werden können oder quantentheoretisch, im letzteren Fall auch, ob die Teilchen Bosonen oder Fermionen sind, genügen dann seine Energien bzw. Beträge der Geschwindigkeiten bestimmten Verteilungen.

Für Interferenz-Experimente braucht man Teilchen mit möglichst einheitlicher Energie (möglichst monochromatische Teilchen). Das scheint im Widerspruch zu stehen zu den breiten thermischen Verteilungen. Hier sind weitgehend alle Energien beteiligt.

Methoden zur Gewinnung von Teilchen möglichst einheitlicher Energie werden unten diskutiert.


Klassisches nichtrelativistisches Gas (Maxwell-Verteilung)

Wenn v der Betrag der Geschwindigkeit der Teilchen des nichtrelativistischen Gases ist, E ihre kinetische Energie und N ihre Gesamtzahl, gilt für die die Anzahl der Teilchen dN im Geschwindigkeitsintervall der Breite dv um v (grün markiert, bis auf Faktor N):

dN = N · f(v)·dv, wobei
f(v) = 4π (m/2π kBT)3/2   v2 e -E/kBT ,   mit E = m/2 v2  

Man muss sehr genau darauf achten, von welcher Variablen die Verteilung abhängen soll (v oder E?). Eine Umrechnung ist leicht möglich: Wegen dE = m v . dv gilt dann für die Zahl der Teilchen im Energieintervall dE:

dN = N·f(v) / (m·v) dE    ,  also f(v)/(m·v) = 4π (1/2πkBT)3/2  √(2E) e -E/kBT

Je nach Teilchenmasse und absoluter Temperatur T verlaufen die Funktionen f(v) unterschiedlich. Es gibt eine häufigste Geschwindigkeit vmeist (in der Regel wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw genannt), für die gilt

    m/2 vmeist2 = kB·T    

Die so genannte mittlere Geschwindigkeit ist davon leicht verschieden: vm = √(4/π) vmeist = 1,13·vmeist

(Eigentlich handelt es sich in diesem Zusammenhang nie um Geschwindigkeit, sondern immer um "Tempo". Die mittlere Geschwindigkeit im strengen Sinn ist natürlich bei einem klassischen Gas 0: zu jeder positiven Geschwindigkeit gibt es eine negative gleichen Betrags.)


Photonengas (Plancksches Strahlungsgesetz für Strahlung schwarzer Körper)

Bei der absoluten Temperatur T eines Photonengases in einem evakuierten Hohlraum gilt für die (Strahlungs-)Energiedichte du = u(E)dE der Photonen mit einer Energie E im Energieintervall dE:

du = u(E) dE , und mit E = h·f :    

    u(E) = 2/(hc)2 E3 ( e E/kBT - 1 )-1  

wegen dE = h·df  kommt man durch Multiplikation von u(E) mit h zur Energiedichte der Photonen mit Frequenz f im Frequenzintervall df.

Wegen f = c/λ   erhält man df =  c/λ2·dλ (bis auf das Vorzeichen) und die Energiedichte der Photonen mit einer Wellenlänge im Wellenlängenintervall dl um λ ist:

du =   hc/λ2 · u(E) · dλ     wobei E zu ersetzen ist durch E = h·f = hc/λ

Im letzten Fall tritt ein Maximum auf bei einer bestimmten Wellenlänge

λmeist = b/T   b = 2,8978·10-3 m·K

(Wiensches Verschiebungsgesetz: die Maxima liegen auf der gelben Kurve)

Integriert man über alle Energien (Frequenzen, Wellenlängen), so erhält man die totale Energiedichte u = s·T4, also das Stefan-Boltzmannsche Gesetz mit s = 5,67·10-8 W/m2·K4.


Bosonisches Quantengas (Bose-Einstein-Verteilung)


Fermionisches Quantengas (Fermi-DiracVerteilung)

Wie kann man Teilchen mit weitgehend einheitlicher Energie erhalten?

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(Zeichensatz geändert 2013)