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Die gleichförmige eindimensionale Bewegung

© H. Hübel Würzburg 2013

Empfohlene Glossarthemen:

Ort

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Glossar zur Physik für Schülerinnen und Schüler

Physik für Schülerinnen und Schüler

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Bekanntes zur Geschwindigkeit

Reale Bewegungen sind meistens recht kompliziert. Du solltest dich hier lieber damit begnügen, eine der einfachsten Bewegungen zu untersuchen. Was du hier lernst, kannst du dann zu einem guten Teil auf kompliziertere Bewegungen in deiner realen Umwelt übertragen.

Eine einfache Bewegung ist z.B. die eines PKWs auf der geradlinigen Autobahn. Bewegungen werden dort u.a. beschrieben durch ihre Geschwindigkeit. Eine besonders einfache Bewegung dabei ist die Bewegung dieses PKWs mit konstanter Geschwindigkeit. Du kennst dabei die Bedeutung einer Geschwindigkeitsangabe. 100 km/h (gesprochen: 100 Kilometer pro Stunde) bedeutet dabei, wie der Name sagt, dass pro Stunde (in einer Stunde) 100 km zurückgelegt werden. Bei konstanter Geschwindigkeit bedeutet das auch, dass in  2  Stunden 200 km zurückgelegt werden und in 0,5 h nur 50 km. Du hast sicher bereits erfahren, dass nur Menschen ohne Verständnis für den Begriff der Geschwindigkeit von "100 ka-em-ha" sprechen. Der Bruchstrich weist dagegen auf "pro" hin.

Was aber bedeutet eine negative Geschwindigkeit von - 20 km/h (Kilometer pro Stunde)? Um das zu verstehen musst du etwas weiter ausholen. Das hat aber den Vorteil, dass du dann besser verstehst, was Geschwindigkeit bedeutet, wenn etwas kompliziertere Bewegungen vorliegen.

Zunächst einmal ist klar: Die Geschwindigkeit v ist ein Vektor, also eine Größe mit Betrag und Richtung. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist die Bewegungsrichtung. Der Betrag von v heißt Tempo. Tempo beschreibt die "Schnelligkeit" der Bewegung, aber um die geht es hier nicht. Der Tacho in einem Auto zeigt das Tempo an.  Du kennst ja die umgangssprachliche Aussage "ich wurde geblitzt bei Tempo 100". Ob das Auto nun vorwärts oder rückwärts fährt, die Anzeige des Tachos ist nie negativ. Dagegen: Bei einer eindimensionalen Bewegung ist v (ohne Vektorpfeil oder Fettdruck) die x-Koordinate des Geschwindigkeitsvektors, die positiv und negativ sein kann. Bei eindimensionalen Bewegungen meint man mit Geschwindigkeit meistens diese Koordinate v des Geschwindigkeitsvektors.
Bei einer eindimensionalen Bewegung charakterisiert eine Koordinate v den Geschwindigkeitsvektor (fast) vollständig.

Positive Geschwindigkeitskoordinate v (positive Geschwindigkeit) gehört zu einer Bewegung in positive Richtung, negative Geschwindigkeit zu einer Bewegung in negative Richtung.

Möglicherweise hast du auch schon kennengelernt, wie man eine Geschwindigkeit in eine andere Einheit umrechnet. Bei v = 108 km/h werden also in 1 h 108 km zurückgelegt, also auch 108 000 m in 3600 s. D.h. 108 km/h bedeutet das gleiche wie 108 000 m / 3600 s = 30 m/s.

Formal geht man - ausführlich erläutert - so vor:  108 km/h = 108 · 1000 m/3600 s = 108·10/36 m/s = 30 m/s. Also wird die Einheit km in 1000 m umgewandelt und dann 1 h in 3600 s. Ganz entsprechend: 72 km/h = 72·1000 m/60 min = 1200 m/min. Schwieriger ist der umgekehrte Weg:  20 m/s = 20·[1/1000] km / [1/3600] h = 20 · 3600 km / 1000 h = 72  km/h. Wo 1 m steht, wird das Entsprechende in km geschrieben, also 1/1000 km . Wo 1 s steht, wird das Entsprechende in h geschrieben, also 1/3600 h. Manchmal liest man, dass man mit einem Umrechnungsfaktor 3,6 multiplizieren oder dividieren sollte, aber die wenigsten können sich merken, ob man in einem konkreten Fall multiplizieren oder dividieren soll.

Die einfache formale Umwandlung führt in jedem Fall sicher zum Ziel und ist auch in anderen Fällen anwendbar.
Untersuche jetzt eine der folgenden Bewegungen

  • die Bewegung einer Luftblase in einem weitgehend mit Wasser gefüllten Plexiglasrohr. Wenn du das Plexiglasrohr etwas neigst, steigt die Luftblase "gleichmäßig" nach oben.
  • die Bewegung einer Spielzeuglok auf einem geradlinigen Schienenstück. Wenn du den Regelknopf des Trafos in einer bestimmten Position beibehältst, bewegt sich die Lok ganz "gleichmäßig" .
  • die Bewegung eines Elektrowägelchens auf einer geradlinigen Schiene. Der Elektroantrieb mittels einer Batterie sorgt dafür, dass sich das Wägelchen "gleichmäßig" längs der Schiene bewegt.
  • die Bewegung eines Gleiters auf einer horizontalen Luftkissenfahrbahn. Wenn der Gleiter angestoßen wird, bewegt er sich fast reibungslos auf einem Luftkissen längs der Fahrbahn, anscheinend "ohne Fahrt zu verlieren".

Nachdem du die Bewegung mit den Augen verfolgt hast und einen Eindruck gewonnen hast, wie sie abzulaufen scheint, sollst du sie genauer untersuchen.

Wie üblich musst du als erstes ein Koordinatensystem festlegen, also Koordinatenursprung und positive x-Richtung. Das ist unumgänglich! Es ist naheliegend, aber nicht zwingend, den Koordinatenursprung in den Startpunkt zu legen und die anfängliche Bewegungsrichtung als positive Richtung zu wählen. In irgendwelchen regelmäßigen Abständen werden Marken angebracht, z.B. bei 10 cm, 20 cm, 30 cm, ... . Du bereitest die Messung vor, indem du eine dreizeilige Wertetabelle anlegst. Die erste Zeile enthält die Koordinaten x der Marken, die zweite Zeile die Zeitpunkte t, bei denen das "Fahrzeug" die jeweilige Marke passiert. Die dritte Zeile bleibt vorläufig frei.

Wenn das "Fahrzeug" den Koordinatenursprung verlässt, wird die Uhr gestartet. Wenn das "Fahrzeug" an einer Marke vorbeikommt, wird der Zeitpunkt (kurz: die Zeit) t abgelesen und in die Tabelle eingetragen, die Uhr aber nicht gestoppt.

Auf diese Weise erhältst du eine Tabelle von folgender Form

x in m 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
t in s 0 1,21 2,39 3,60 4,77 6,05 7,22 8,45 9,62 11,0 12,1
   ? -- . . . . . . . . . .

Tabelle 1

Eigenschaften / Folgerungen

1. In der doppelten, dreifachen, ... Zeit t wird in guter Näherung die doppelte, dreifache, ... x-Koordinate erreicht. Wir sprechen kürzer vom doppelten, dreifachen, ... Ort x.

2. Wenn du jetzt in der dritten Zeile die Verhältnisse oder Quotienten x/t einträgst, stellst du fest: Bis auf geringe Schwankungen (man sagt: "Im Rahmen der Messgenauigkeit") sind diese Verhältnisse  bzw. Quotienten x/t alle gleich. Man sagt auch: x und t sind verhältnisgleich (oder quotientengleich). Du kennst es von früher her, dass man dieselbe Aussage mit dem Fremdwort so formuliert: Ort x und Zeit t sind zueinander proportional.

x in m 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0
t in s 0 1,2 2,3 3,6 4,7 6,1 7,2 8,5 9,5 11,0 12,1
x/t in m/s -- 0,083 0,087 0,083 00,85 0,082 0,083 0,082 0,084 0,082 0,083

Tabelle 2

3. Wenn du jetzt einen t-x-Graphen zeichnest (also Zeit t nach rechts, Ort x nach oben) erhältst du in guter Näherung ein Stück einer Ursprungsgeraden. Das siehst du deutlicher, wenn du nicht die einzelnen Messpunkte miteinander durch eine Zickzack-Linie verbindest, sondern eine mittelnde Gerade einzeichnest, von der die Messpunkte nach links und rechts möglichst wenig abweichen.

Auch die so entstandene Ursprungsgerade ist Ausdruck der Tatsache, dass der Ort x und die Zeit t zueinander proportional sind.

4. Die Verhältnisse (Quotienten) der zwei Messgrößen, hier also x/t in der dritten Zeile der Tabelle 2, heißen bei einer Proportionalität "Steigung". Auch bei dieser Proportionalität zwischen x und t ist die Steigung konstant.

Eine Bewegung, bei der die Eigenschaften 1 bis 4 gelten, heißt "gleichförmige Bewegung". Du hättest auch - mit "soll ... heißen ... " - definieren können:

Eine Bewegung, bei der der t-x-Graph eine konstante Steigung hat, soll gleichförmige Bewegung heißen, oder, oder ...

Offenbar spielt die Steigung x/t für diese Bewegung eine besondere Rolle. Deswegen erhält sie einen eigenen Namen, nämlich die Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung.

Bei einer gleichförmigen Bewegung habe eine Geschwindigkeit z.B. den Betrag 0,5 m/s. Das heißt, bei dieser Bewegung wird in 1 s der Ort 0,5 m erreicht. Ganz klar, dass dann in 2 s der Ort 1 m erreicht wird, in 3 s der Ort 1,5 m, usw. ... . Aus v = 0,083 m/s in Tabelle 2 folgt: In 1 s wird der Ort 0,083 m erreicht.

Du hättest auch definieren können:

         Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit soll "gleichförmige Bewegung heißen".      

Es wurde behauptet, dass das Koordinatensystem willkürlich gewählt werden kann. Auch bei einer anderen Wahl muss sich dann dieselbe gleichförmige Bewegung ergeben. Wählen wir versuchsweise den bisherigen Ort 0,3 m als Koordinatenursprung bei gleicher positiver Richtung. Die Wertetabelle muss jetzt verändert werden:

x in m 0 - 0,30 = -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70
t in s    0 1,2 2,3 3,6 4,7 6,1 7,2 8,3 9,6 11,0 12,1
x/t in m/s ?    ----------------- -0,17 -0,043 0,0 0,021 0,033 0,042 0,048 0,052 0,055 0,058

Tabelle 3 für die gleiche Bewegung wie in Tabelle 1 und 2 bei geändertem Koordinatenursprung

Aber obwohl eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit vorliegt, sind die Verhältnisse (Quotienten) der dritten Zeile jetzt nicht mehr konstant.

x/t kann nicht mehr die Geschwindigkeit sein!

Auch der Graph ist nicht mehr das Stück einer Ursprungsgeraden. Aber der t-x-Graph steigt in der gleichen Weise an wie bei der vorherigen Auswertung.

Um das genauer in den Griff zu bekommen, zeichnet man ein Steigungsdreieck ein.

Dazu werden zwei beliebige Punkte auf dem Graphen gewählt (A und B), möglichst weit von einander entfernt. Sie werden zum Steigungsdreieck ergänzt. Die Seitenlängen sind dann Differenzen von zwei x-Werten bzw. zwei t-Werten. An das D von Differenz erinnert das große griechische Δ (Delta). Deswegen heißen die Seitenlängen Δx und Δt (gesprochen: Delta x und Delta t). Wenn du jetzt für beliebige Steigungsdreiecke die Quotienten aus den Seitenlängen bildest (Δx/Δt), dann erhältst du wieder quasi die gleichen Werte wie in der 3. Zeile von Tabelle 2, also die Geschwindigkeit v.

Für das gezeichnete Steigungsdreieck: Δx = 0,50 m und Δt = 6,0 s, also v = Δx/Δt = 0,50 m/6,0 s = 0,83 m/s

Es gilt also:

      v = Δx/Δt        

Diese Definition der Geschwindigkeit ist offenbar allgemeiner anwendbar als die erste Definition.

Δt kennzeichnet ein Zeitintervall, einen Zeitabschnitt oder eine Zeitspanne, Δx die Ortsänderung des Fahrzeugs in diesem Zeitintervall. v = 0,5 m/s besagt danach also: In einem Zeitintervall (einer Zeitspanne) von 1 s ändert sich bei dieser gleichförmigen Bewegung der Ort des Fahrzeugs um 0,5 m. Da bei der gleichförmigen Bewegung für alle Zeitintervalle v konstant ist, heißt das auch: In einem Zeitintervall von 2 s ändert sich der Ort des Fahrzeugs um 1 m.

Wenn das Zeitintervall Δt  mit t = 0 beginnt, entspricht der Länge des Zeitintervalls Δt  gerade die Zeit am Ende des Intervalls. Dann kannst du statt Δt einfach t schreiben. Genauso: Wenn  Δx  mit dem Anfangsort x0 = 0 beginnt, kannst du Δx  durch den am Ende des Intervalls erreichten Ort x ersetzen. Nur in diesem Fall gilt also  v = Δx/Δt = x/t.

Zur Kontrolle betrachte noch einmal die nebenstehende Zeichnung mit einem eingezeichneten Steigungsdreieck. Die Zeitspanne beträgt 1 s; dazu gehört die Ortsänderung 2 m, also beträgt die Geschwindigkeit v = 2 m/s. Zu Beginn des Zeitintervalls war der Ort x0 = - 1 m . Bei einer Ortsänderung von 2 m wird als am Ende des Zeitintervalls der Ort 1 m erreicht. Das stimmt genau mit der Zeichnung überein. Der Ort x0 zu Beginn des Zeitintervalls heißt Anfangsort.

Was bedeutet dann eine negative Geschwindigkeit, z.B. v = - 2 m/s?

Anschaulich ist das längst geklärt. Es handelt sich um eine Bewegung in negative x-Richtung.

Die Mathematik zeigt das auch: Mit Hilfe von v = Δx/Δt folgerst du, dass im Zeitintervall Δt = 2 s eine negative Ortsänderung Δx = - 4 m erfolgen muss (also rückwärts; grüner vertikaler Pfeil). Ausgehend von einem Anfangsort x0 = 1 m wird also der Ort x = -3 m erreicht.

So passt die anschauliche Überlegung genau zu der mathematischen Beschreibung durch das t-x-Diagramm und die vorliegende Steigung v.

Um aus einem Graphen die jeweilige Steigung abzulesen, zeichnest du also für zwei beliebige Punkte das Steigungsdreieck ein. Dann ergänztst du auf den Katheten Pfeile vom ersten zum zweiten Punkt (in der Zeichnung grün) und liest Δx und Δt ab. Wenn der entsprechende Pfeil in positive x- oder t-Richtung zeigt, ist Δx bzw. Δt positiv, andernfalls negativ. Aus v = Δx/Δt erhältst du die Geschwindigkeit (Steigung) mit dem richtigen Vorzeichen.

Am letzten Beispiel wird ganz klar, dass Geschwindigkeit nur indirekt etwas mit "Schnelligkeit" (Tempo) zu tun hat. Tempo kann wie die Tachoanzeige im Auto niemals negativ sein! Wenn  du behauptest "Das Fahrzeug bewegt sich sehr schnell", ist es dir egal, ob es sich vorwärts oder rückwärts bewegt. Die Geschwindigkeit macht auch darüber eine Aussage.

Das t-v-Diagramm

Wie hängt die Geschwindigkeit v bei einer gleichförmigen Bewegung von der Zeit t ab? Sie ist konstant. Das muss sich auch im t-v-Diagramm ausdrücken. Für die Messdaten von Tabelle 2 bzw. Tabelle 3 ergibt sich derselbe Graph einer konstanten Funktion:

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit unabhängig von der Zeit, also konstant.

Im zugehörigen t-x-Graphen ergab sich für Δt = 6,0 s und v = 0,083 m/s eine Ortsänderung Δx = 0,50 m. Das ist im t-x-Graphen gelb markiert.

Die Ortsänderung steckt aber auch im t-v-Graphen. Die Gleichung &x = v·Δt lässt sich nämlich grafisch deuten. Ein Maß für sie ist die Fläche unter dem t-v-Graphen (grün markiert), zu berechnen aus Länge Δt mal Breite v.

Das führt allgemein zum Flächenverfahren, mit dem aus dem t-v-Diagramm für ein vorgegebenes Zeitintervall die Ortsänderung Δx bestimmt werden kann.

Wenn der Anfangsort x0 (zu Beginn des Zeitintervalls) bekannt ist, erhält man mit der Ortsänderung Δx den Ort x am Ende des Zeitintervalls:

x = x0 + Δx

Mit den Daten aus dem t-x-Diagramm kannst du das überprüfen, sowohl für Tabelle 2 wie für Tabelle 3.

(Die kleine Null als Index weist immer auf den Intervallanfang hin, hier also auf den Anfangsort, der zur Zeit 6 s erreicht ist. In manchen Schulbüchern dagegen bedeutet die kleine Null einen zeitlich konstanten Wert.)

Von der Geschwindigkeit v zum Ort x mit dem Flächenverfahren

Wenn die Geschwindigkeit gegeben ist, kannst du leicht die Ortsänderung in einem bestimmten Zeitintervall berechnen. In einfachen Fällen kannst du das sogar im Kopf machen. Es sei z.B. bei einer gleichförmigen Bewegung die Geschwindigkeit 108 km/h = 30 m/s. Das heißt pro Stunde werden 108 km zurückgelegt, in 2 h also 316 km und in 30 min 54 km. Oder auch: Pro Sekunde werden 30 m zurückgelegt, in 2 s also 60 m und in einer halben Sekunde 15 m. Hier sind immer Zeitspannen (Zeitintervalle) Δt gegeben und du hast sofort dazu passend die Ortsänderungen Δx angeben.

Das geht auch ganz formal. Wenn du v = Δx/Δt nach Δx auflöst, erhältst du die Ortsänderung Δx = v·Δt, also z.B. mit obigen Zahlenwerten: Δx = 108 km/h · 0,5 h = 54 km.

Ohne Formeln, rein geometrisch, kommst du mit dem Flächenverfahren aus:

Die Fläche unter dem t-v-Diagramm  ist für ein vorgegebenes Zeitintervall Δt ein Maß für die Ortsänderung Δx:               Δx = v·Δt

Mit dem Anfangsort x0  und der Ortsänderung Δx erhält man den Ort x am Ende des Zeitintervalls:                                   x = x0 + Δx

Wenn der Anfangsort x0 = 0,2 m und die Ortsänderung Δx  = 0,5 m ist, erhältst du den Ort am Ende des Zeitintervalls x = 0,7 m.

Ein Beispiel einer etwas komplizierteren Bewegung

Betrachte den nebenstehenden t-x-Graphen. Er gehört natürlich nicht zu einer gleichförmigen Bewegung.

Aber er ist stückweise aus gleichförmigen Bewegungen und aus Phasen der Ruhe zusammengesetzt.

Ausgehend vom Anfangsort x0 = -0,2 m erhältst du nach und nach mit den Ortsänderungen 0,8 m und - 0,6 m den Ort zur Zeit 14 s, nämlich 0 m.

Geschwindigkeit allgemein

Die wichtigste Lehre aus diesem Kapitel ist eine allgemeine Definition der Geschwindigkeit:

              Für alle eindimensionalen Bewegungen längs einer Geraden gilt: Die Geschwindigkeit v in jedem Punkt ist die Steigung des Zeit-Ort-Graphen.            

Bei einer gleichförmigen Bewegung bestimmst du die Steigung mit dem Steigungsdreieck. Wenn die Bewegung allerdings nicht aus gleichförmigen Bewegungen zusammengesetzt ist, wirst du noch kennen lernen müssen, wie man die Steigung erhält.


Hinweise:

1. Manchmal wird die Koordinate x mit s benannt. s soll dabei an Strecke oder Weg (lat. spatium) erinnern. Für die Bewegung vom ersten Versuch wäre das genauso richtig. Bei Rückwärtsbewegungen mit negativer Geschwindigkeit braucht man aber negative Ortsänderungen Δx, die dann manchmal "negative Wege" genannt werden. Aber: Wie kann bloß ein Weg negativ sein? Weil mit dem Gebrauch von s anstelle der Ortskoordinate x überflüssige Schwierigkeiten verbunden sind, wird eine solche Gewohnheit hier abgelehnt.

Ein Beispiel soll das erläutern. Ein Fahrzeug bewegt sich vom Koordinantenursprung 2 m in positive Richtung, dann zurück 2 m in negative Richtung. Die Ortsänderungen sind also Δx = 2 m und Δx = - 2m. Insgesamt wird der Ausgangsort wieder erreicht. Nimmt man das Wort Weg s aber ernst, muss man sagen, dass der zurückgelegte Weg 4 m beträgt. 4 m taucht aber in der Regel in keiner Überlegung oder Rechnung auf: "Wege" sind kaum zu gebrauchen.

2. In diesem Kapitel kommt "Zeit" in verschiedener Weise vor:

(a) Als "laufende Zeit t", die auch auf der Zeitachse abgetragen wird (t in s). Sie heißt laufende Zeit, weil sie nach und nach unterschiedliche Werte durchläuft, die dann häufig auf der Zeitachse aufgetragen werden. Die Achse wird deshalb auch mit der laufenden Zeit t beschriftet.

(b) Als "Zeitpunkt" (z.B. 5 s). Das ist z.B. die Zeit, bei der das Fahrzeug eine Marke passiert.

(c) Als "Zeitintervall" oder "Zeitspanne" oder "Zeitabschnitt" Δt. Sie kennzeichnet die Differenz zwischen zwei Zeitpunkten.

(zuletzt aktualisiert 2013)

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