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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2014

  Der stationäre Strom im geschlossenen Stromkreis

nach W. Panofsky, M. Phillips, Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley Publishing Company, 2. Auflage 1962, S. 118 - 122 und vielen anderen Standard-Lehrbüchern der Elektrodynamik

Vgl. auch Hat Spannung bei einem stationären Strom etwas mit "gestauten Elektronen" zu tun?

und auch Spannungsdefinition "über potenzielle Energie der frei beweglichen Elektronen"?

und auch Ringspannung und gewöhnliche Spannung

Hier erfahren Sie, weshalb auch im Schulunterricht eine Spannung als Potenzialdifferenz nicht ausreicht.

Übersicht

.

1. Es ist eine Erfahrungstatsache, dass keine Ladungen aus dem Nichts entstehen können. Fließt also aus einem kleinen Volumen ΔV ein Strom heraus, dann muss die Ladungsmenge ΔQ = ρ · ΔV im Volumen ΔV abnehmen, ganz entsprechend, wenn ein Strom hineinfließt. Es gilt also mit der Stromdichte j und der Ladungsdichte ρ für die totale Änderung der Ladung im Volumen ΔV:

                                                                 

               dρ/dt  ΔV =   div j · ΔV + ∂ρ/∂t  · ΔV  = 0                 oder        

                                                                   

        div j +   ∂ρ/∂t = 0   (Kontinuitätsgleichung)      

mit der Quellstärke div j. Ein Strom heißt "stationär", wenn sich nirgendwo längs des Stromlaufs im Laufe der Zeit Ladungen ansammeln oder vermindern, wenn ∂ρ/∂t = 0 überall ist. Dann gilt gleichzeitig div j = 0: Ströme, die in ein kleines Volumen ΔV hineinfließen, müssen aus ihm auch wieder herausfließen. Das ist die Situation bei einem geschlossenen Stromkreis nach einer vernachlässigbar kleinen Zeit, in der sich dieser stationäre Strom einstellt.

Das schließt auch ein, dass der Strom auf geschlossenen Bahnen fließt, dass die Ladungsverteilung längs dieses Stromwegs unbeeinflusst bleibt. Der Strom bei einer Kondensator-Entladung ist sicher nicht stationär, weil sich die Kondensatorplatten entladen und weil   j Quellen und Senken (div j =/= 0) an den Kondensatorplatten hat.


2. Fließt ein elektrischer Strom mit der Stromdichte j durch ein elektrisches Feld E, so kann das elektrische Feld an den Ladungen positive oder negative Arbeit verrichten. Die Leistungsdichte n ist dabei n = j · E (Begründung s. unten). Falls j und E gleichgerichtet sind, verrichtet also das Feld E in der Zeit Δt im kleinen Volumen ΔV die positive Arbeit      ΔW   =    j·E· Δt · ΔV.

Wenn j und E durch das ohmsche Gesetz miteinander verknüpft sind:  j = σ.E, gilt für die Leistungsdichte n:  

n = j2

Das ist also die Energie pro Zeit- und Volumeneinheit, die das Feld an einem ohmschen Widerstand verrichtet, die also als Wärme pro Zeit- und Volumeneinheit nach außen abgegeben wird.


3. Welche Arbeit verrichtet das elektrische Feld in einem Volumen V, das den ganzen Strom umfasst, wenn ein reines Potenzialfeld E vorliegt und ein stationärer Strom fließt?

Ein Potenzialfeld E ist aus einem Potenzial ableitbar:   E = - grad φ und es gilt wegen der Wegunabhängigkeit der Verschiebungsarbeit für das Umlaufsintegral über eine geschlossene Kurve:    ∫o dl  = 0  (bzw. rot E = 0 ) *).   

Um die Leistung zu erhalten ist über die Leistungsdichte n = j·E  zu integrieren:

                      ∫  j·E dV =   - ∫  j · grad φ dV

Wegen div ( φ) = &phi·div j + grad φ, also        grad φ= div ( φ) - &phi ·div j    erhält man durch partielle Integration:

∫ j·E dV =   - ∫ j · grad φ dV  =     -  ∫ div (j · φ) dV  +   ∫  φ div j   dV   =     -   ∫o (j · φ) df    +   ∫  φdiv j   dV    nach dem Gaußschen Satz. Wählt man die Oberfläche des Volumens genügend groß, so dass j und  φ gemeinsam schneller als 1/r2 abgeklungen sind, verschwindet das Oberflächen-Integral und es gilt:

                     ∫  j·E dV =    ∫  φdiv j   dV  

Bei einem stationären Strom verschwindet div j, und damit auch das Integral links:

   

    Ein reines Potenzialfeld kann an einem stationären Strom keine Arbeit verrichten:               ∫  j·E dV =  0  

Es ist mit einem stationären Strom in einem reinen Potenzialfeld also nicht verträglich, dass Wärme nach außen abgegeben wird.

Wenn in einem Stromkreis Wärme abgegeben wird, kann nicht gleichzeitig der fließende Strom stationär sein und ein reines elektrisches Potenzialfeld vorliegen.

Das ist aber sehr plausibel: Im Volumen V soll der geschlossene Strom ganz enthalten sein. Dann müssen notwendigerweise in Teilen des Stromkreises j und E gleichorientiert sein (Skalarprodukt >0), in anderen Teilen gegenläufig (Skalarprodukt <0). Die Arbeiten auf unterschiedlichen Teilen des Stromkreises summieren sich zu 0.

Die Aussage ist nicht gültig für einen nicht stationären Strom wie z.B. bei der Kondensator-Entladung. Hier liegt einerseits ein reines Potenzialfeld vor, andererseits hat die Stromdichte Quellen und Senken an den Kondensatorplatten (div j = - ∂ρ/∂t =/= 0)


4. a) Das ohmsche Gesetz verknüpft die Stromdichte j mit der gesamten jeweiligen elektrischen Feldstärke am Ort der Stromdichte:    j = σ · E  . Für die Stromwärme (pro Zeit- und Volumeneinheit) gilt dann nach Multiplikation mit j/σ:   j2/σ  =  j·E . Nach Integration über ein genügend großes Volumen V:

                                                                                    ∫  j2/σ  dV  = ∫ j·E  dV = 0

wenn E ein reines Potenzialfeld und j ein stationärer Strom ist.

Bei einem stationären Strom durch ein reines Potenzialfeld kann nicht erklärt werden, wie eine Produktion von Stromwärme zustande kommen soll!

b) Berücksichtigen wir jetzt, dass das gesamte elektrische Feld i.A. aus einem reinen Potenzialfeldanteil E und einem reinen Wirbelfeldanteil E(e) zusammengesetzt ist. Man kann sich vorstellen, dass in manchen Teilen des Stromkreises nur einer der beiden Feldanteile vorliegt. E(e) könnte bei einer Batterie auch ein formales elektrisches Feld sein, das die (nichtelektrischen, z.B. chemischen) Vorgänge in der Stromquelle simuliert. Dann wäre E(e) allein auf das Volumen der Stromquelle beschränkt. Oder E(e)  könnte das elektrische Wirbelfeld sein, das überall im Stromkreis bei der Induktion durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld entsteht. Es ist plausibel, dass sich das ohmsche Gesetz durch die gesamte elektrische Feldstärke angeben lässt gemäß  

                                                                                             j = σ. ( E +   E(e)).  

Für die Stromwärme (pro Zeit- und Volumeneinheit) gilt dann nach Multiplikation mit j/σ:   j2/σ  =  j·E +  j·E(e)

Nach Integration über ein genügend großes Volumen V:

                                                                                    ∫  j2/σ  dV  = ∫ j·E  dV   +  ∫  j · E(e) dV

wieder ist es so, dass für einen stationären Strom der Anteil des reinen Potenzialfelds E verschwindet. Es gilt also für die Leistung:

∫  j2/σ  dV  =   &int   j·E(e) dV

d.h. die gesamte Stromwärme kommt allein von der Arbeit, die das elektrische Wirbelfeld E(e) verrichtet.

E(e)  könnte also das formale Feld sein, das die Vorgänge in der Stromquelle (Batterie) simuliert, es heißt oft das "eingeprägte Feld". Oder E(e) ist der Teil des elektrischen Felds, der durch Induktion entsteht. Das Ergebnis ist ebenfalls sehr plausibel:

Die Stromwärme kommt bei einem stationären Strom ausschließlich von der "eingeprägten Feldstärke", also von der Stromquelle oder von der Induktion. Zusätzliche Potenzialfelder spielen energetisch für die Stromwärme keinerlei Rolle: Die Arbeit, die das Potenzialfeld verrichtet auf einem Teil des Stromwegs, wird durch die gewonnene Arbeit auf einem anderen Teil des Stromwegs kompensiert. Das hängt mit dem Wesen des Potenzialfelds, der Wegunabhängigkeit, zusammen. Aber eigentlich ist dieses Ergebnis auch schon anschaulich klar.

Ein vernünftiges Strommodell für die Schule sollte diese Tatsache abbilden.


5. Die Umlaufspannung oder Ringspannung ist definiert als das Umlaufsintegral über die elektrische Feldstärke über einen geschlossenen Weg.

 U =   ∫o E·ds     *)

Elektromagnetische Induktion lässt sich nur mit Hilfe der Ringspannung richtig erklären, weniger wichtig ist der Begriff im Zusammenhang mit einer Gleichstromquelle wie einer Batterie.

Bei einem reinen Potentialfeld ist die Ringspannung per definitionem 0 (Wegunabhängigkeit der Verschiebungsarbeit; rot E = 0) .

Die elektrische Feldstärke enthalte nun einen reinen Potenzialanteil E und einen reinen Wirbelfeld-Anteil E(e) (rot E(e) =/=  0). Es gilt dann

                                                               U =   ∫o E·ds + ∫o E(e)·ds =   ∫o E(e)·ds  = ∫rot E(e)·df  =/=  0      *)

Dabei wurde für den vorletzten Schritt der Stokessche Satz angewandt; es wird dabei über die von der geschlossenen Kurve eingefasste Fläche integriert. Eine nicht verschwindende Umlaufspannung (Ringspannung) setzt also ein elektrisches Wirbelfeld E(e) voraus. Das ist der Fall bei der Induktion, aber auch bei einer Gleichstromquelle, wo das formale "eingeprägte" Feld E(e) auf den Bereich der Stromquelle beschränkt ist.

Wozu braucht man eine Ringspannung beim Gleichstromkreis? Es soll jetzt der Zusammenhang zwischen Widerstand, Stromstärke und Umlaufspannung gefunden werden. Der Strom fließt ja bekanntlich "immer im Kreis herum"; jeder Teil des geschlossenen Stromkreises kann zum gesamten Widerstand beitragen, also auch das Innere einer Stromquelle. Denken wir uns einen Abschnitt der Länge Δl des Leiters mit konstantem Querschnitt und der Leitfähigkeit σ. Dann beträgt der Teilwiderstand dieses Abschnitts R = Δl/(A·σ). Bei einer Stromstärke I führt das zu einem Spannungsabfall I·R = I· Δl/(A·σ) = j/σ ·Δl, weil j = I/A. Enthält der Stromkreis mehrere solcher Abschnitte, müssen wir sie alle durchnummerieren und die Teilwiderstände aufaddieren. Im Grenzübergang zu beliebig vielen, beliebig kurzen Abschnitten erhalten wir also für den gesamten Spannungsabfall längs des geschlossenen Stromkreises:

                                                          ∫o jds σ

setzen wir jetzt unseren Ansatz für die Stromdichte j ein, das ohmsche Gesetz, erhalten wir

                                             ∫o jds /σ  =   ∫o (E + E(e) ) ds      *)

(jeweils Umlaufsintegrale über einen geschlossenen Weg). Es verbleibt wie gerade besprochen nur der Anteil des Wirbelfelds und der ist gleich der Ringspannung U:

                                       

       ∫o jds /σ  =   ∫o E(e) ds  = U       *)

Nur in Sonderfällen lässt sich die Ringspannung durch eine gewöhnliche Spannung ausdrücken (s. 6)

Folgerungen: